Formulation avec conditions de Dirichlet et de Neumann
On considère Ω⊂R3 tel que ∂Ω=∂ΩD∩∂ΩN. On se donne g:∂ΩN→R3 la charge normale(densité de force) sur ∂ΩN. Le problème mélangeant condition de Dirichlet, imposant le déplacement, et de Neumann, imposant les contraintes normales, en élasticité linéaire s’exprime sous la forme suivante
si g=0 sur ∂ΩN on dira que la surface est laissée libre (de force ou de charge). |
Le choix naturel d’espace fonctionel est X≡[H10,∂ΩD(Ω)]3 pour la solution et les fonctions tests avec
La formulation variationnelle est obtenue en faisant le produit scalaire de la première équation par la fonction test v. Observez de plus que:
et
et nous obtenons
La formulation faible s’écrit alors
En mécanique du continuum, la fonction de test v joue le rôle d’un déplacement virtuel et la formulation faible précédente exprime le principe du travail virtuel. |
1. Problème bien posé
Le problème faible avec condition aux limites mixtes est bien posé grâce à l’inégalité de Korn.
2. Finite element approximation
On considère une approximation du problème mixte par élément fini H1-conforme à partir d’une famille de maillages affines, géométriquement conformes {Th}h>0 et d’un élément fini de Lagrange de degré k≥1 décrit par {ˆK,ˆP,ˆΣ}. On introduit Ensuite