Problème de traction pure

Le problème de traction pure en élasticité linéaire s’exprime sous la forme suivante

Problème: traction pure
\[\begin{align} \nabla \cdot \stresst{\disp{d}} + \mathbf{f} = \mathbf{0} & \quad \mbox{ in } \Omega \\ \stresst{\disp{d}} = \lambda (\nabla \cdot \disp{d}) \Id + \mu (\nabla \disp{d} + \nabla \disp{d}^T) & \quad \mbox{ in } \Omega\\ \stresst{\disp{d}} \normal = \mathbf{g} & \quad \mbox{ on } \partial \Omega \end{align}\]

Le choix naturel d’espace fonctionel est \([H^1(\Omega)]^3\) pour la solution et les fonctions tests. La formulation faible s’écrit alors

Formulation faible du problème de traction pure

On cherche \(\disp{d} \in [H^1(\Omega)]^3\) telle que

\[a(\disp{d},\disp{v}) = \int_\Omega f \cdot \disp{v} + \int_{\partial \Omega} \disp{g} \cdot \normal \quad \forall v \in [H^1(\Omega)]^3\]

la forme \(a\) a été définie dans la formulation mixte.

Solution à un déplacement rigide près

La difficulté du problème ci-dessus est que la forme \(a\) est singulière sur \([H^1(\Omega)]^3\). Pour s’en convaincre, introduisons l’ensemble

\[\cal{R} = \left\{ \disp{d} \in [H^1 (\Omega)]^3; \disp{d}(x) = \tau + \omega \times \disp{x} \right\}\]

où \(\tau\) et \(\omega\) sont des vecteurs de \(\RR^3\) et \(\times\) est le produit vectoriel dans \(\RR^3\). Une fonction de \(\cal{R}\) est appelée champ de déplacement rigide car il correspond à un movement de translation et de rotation de \(\Omega\).
Lemma

L’équivalence suivante est vérifiée

\[\disp{d} \in \cal{R} \iff \forall \disp{v} \in [H^1 (\Omega)]^3, a(\disp{d},\disp{v})=0\]
Preuve

Soit \(\disp{d} \in \cal{R}\), on a \(\nabla \cdot \disp{d} = 0\) et \(\deformt{\disp{d}} = 0\) et donc \(a(\disp{d},\disp{v})=0\ \forall \disp{v} \in [H^1 (\Omega)]^3\).

Inversement, si \(a(\disp{d},\disp{v})=0\ \forall \disp{v} \in [H^1 (\Omega)]^3\), prenons \(\disp{v}=\disp{d}\), on a

\[a(\disp{d},\disp{d})=\int_\Omega \lambda(\nabla \cdot u)^2 + \int_\Omega 2 \mu \deformt{\disp{d}}:\deformt{\disp{d}} = 0\]

ce qui signifie que \(\deformt{\disp{d}} = 0\), donc que les composantes de \(\disp{d}\) sont des polynomes du premier degré et donc que

\[\disp{d}(x) = \tau + R \disp{x}\]

avec \(\tau \in \RR^3\) et \(R \in \RR^{3\times 3}\). De plus remarquons que \(R\) est anti-symmétrique, i.e \(R+R^T=0\), du fait que \(\deformt{\disp{d}} = 0\). Nous avons alors qu’il existe \(\omega \in \RR^3\) tel que \(R \disp{x} = \omega \times \disp{x}\) et donc que \(\disp{d} \in \cal{R}\).

Le Lemme précédent indique que les données \(\disp{f}\) et \(\disp{g}\) satistfont

\[\forall v \in \cal{R},\quad \int_\Omega \disp{f}\cdot \disp{v} + \int_{\partial \Omega} \disp{g} \cdot \disp{v} = 0\]
La relation précédente indique que la somme des forces et leurs moment s’annule.
La solution \(\disp{d}\) est définie seulement à un mouvement rigide près.

Il est standard de rajouter les contraintes

\[\int_\Omega \disp{d} = \int_\Omega \nabla \times \disp{d} = 0\]

afin de fixer le mouvement rigide. La formulation du problème de traction pure s’écrit alors

Formulation faible du problème de traction pure

Trouver \(\disp{d} \in V_N\) tel que

\[a(\disp{d},\disp{v}) = \int_\Omega \disp{f} \cdot {\disp{v}} + \int_{\partial \Omega} \disp{g}\cdot \disp{v}, \quad \forall \disp{v} \in V_N\]

Avec

\[V_N = \left\{ \disp{v} \in [H^1 (\Omega)]^3; \int_\Omega \disp{d} = \int_\Omega \nabla \times \disp{d} = 0 \right\}\]

1. Problème Bien Posé

Le problème faible de traction pure est bien posé grâce à l’inégalité de Korn.

2. Approximation élément fini

Nous considérons une approximation élément fini conforme dans \([H^1 (\Omega)]^3\) basé sur l’élément fini de Lagrange de degré \(k \geq 1\), \((\hat{K},\hat{P},\hat{\Sigma})\).

On introduit l’espace

\[V^k_h = \left\{ \disp{v}_h \in [C^0(\Omega)]^3; \forall K \in \cal{T}_h, \disp{v}_h \circ \varphi^{\mathrm{geo}}_K \in [\hat{P}]^3 \right\}\]
Traitement du déplacement rigide

Afin de traiter le déplacement rigide, on propose d’utiliser la posssibilé du framework de résolution algébrique d’avoir la connaissance du noyau (i.e \(\cal{R}\)). Ce faisant une solution est obtenue, sans contrôle du déplacement rigide, il suffit ensuite de retrancher \(\int_\Omega \disp{d}\) et \(\int_\Omega \nabla \times \disp{d}\) à cette solution pour obtenir celle en \(V_N\).

Le problème discret s’écrit: .Problème discret de traction pure

Trouver \(\disp{d}_h \in V^k_h\) tel que

\[a(\disp{d}_h,\disp{v}_h) = \int_\Omega \disp{f} \cdot {\disp{v}_h} + \int_{\partial \Omega} \disp{g}\cdot \disp{v}_h, \quad \forall \disp{v}_h \in V^k_h\]
Proposition: Estimation a priori pour le problème de traction pure

Soit \(\disp{d}\) une solution du problème faible, on a tout d’abord que \(\lim_{h\rightarrow 0} \|\disp{d}-\disp{d}_h\|_{1,\Omega} = 0\). De plus si \(\disp{d} \in [H^{l+1}(\Omega)]^3 \cap V^k_h\) pour \(l\in \{1\ldots k\}\) alors il existe \(c\) telle que

\[\forall h, \quad \|\disp{d}-\disp{d}_h\|_{1,\Omega} \leq c h^l |\disp{d}|_{l+1,\Omega}.\]

et de plus, si \(\Omega\) est un convexe et \(\disp{g} = \disp{0}\) alors il existe \(c\) telle que

\[\forall h, \quad \|\disp{d}-\disp{d}_h\|_{0,\Omega} \leq c h^{l+1} |\disp{d}|_{l+1,\Omega}.\]