Élasticité Linéaire

On s’intéresse dans cette section à l’approximation par éléments finis de problèmes de mécanique des milieux continus et en particulier à l’élasticité qui décrit des matériaux qui reviennent à leur forme initiale après avoir été déformés. L'élasticité est une déformation réversible.

Soit \(\mathbf{f}: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^3\) la charge extérieur s’appliquant au domaine \(\Omega\).

On note \(\disp{d}: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^3\) le déplacement de la structure induit par cette charge \(\mathbf{f}\) et qu’on cherche à déterminer.

Dans ce qui suit, nous nous placons dans le cas où les déformations sont suffisamment petites pour être modélisées dans le cadre de l’elasticité linéaire.

On a la relation suivante à l’équilibre des forces:

\[\nabla \cdot \stresst{\disp{d}} + \mathbf{f} = \mathbf{0} \mbox{ dans } \Omega\]

où \(\stresst{\disp{d}}: \Omega \rightarrow \RR^{d\times d}\) est le tenseur des contraintes.

Soit \(\deformt{\disp{d}} : \Omega \rightarrow \RR^{d\times d}\) le tenseur des déformations linéarisé défini par

\[ \deformt{\disp{d}} = \frac{1}{2} \left( \nabla \disp{d} + \nabla \disp{d}^T \right),\]

\(\lambda\) et \(\mu\) sont appelés coefficients de Lamé et \(\Id\) est la matrice identité de \(\RR^{d\times d}\).

En élasticité linéaire, on a une relation linéaire entre le tenseur des contraintes et des déformations qui s’écrit

\[\stresst{\disp{d}} = \lambda \tr(\deformt{\disp{d}}) \Id + 2 \mu \deformt{\disp{d}}\]

On a alors

\[ \stresst{\disp{d}} = \lambda( \nabla \cdot \disp{d} ) \Id + \mu( \nabla \disp{d} + \nabla \disp{d}^T)\]
Coefficients de Lamé, module d’Young et coefficient de Poisson

Les coefficients sont des coefficients phénoménologiques contraints par les relations suivants:

  • \(\mu >0\)

  • \(\lambda + \frac{2}{3} \mu \ge 0\)

Dans ce qui suit, on supposera que \(\lambda \ge 0\) et ces coefficients constants

\(\lambda + \frac{2}{3} \mu\) est directement relié au caractère compressible du matériau.

Enfin il est souvent plus aisé, d’un point de vue pratique, de manipuler le module d’Young \(E\) et le coefficient de Poisson \(\nu\) qui sont liés aux coeffcients de Lamé comme suit:

\[ \lambda = \frac{E \nu}{( 1+\nu )*( 1-2 \nu )} , \quad \mu =\frac{E}{2 ( 1+\nu )}\]
Module d’Young (\(E\))

Il relie la contrainte de traction (ou de compression) et le début de la déformation d’un matériau élastique isotrope (wikipedia). Il est homogène à une pression et son unité est le mega Pascal \(\mathrm{MPa}\) ou le giga Pascal \(\mathrm{GPa}\).

Coefficient de Poisson (\(\nu\))

Il est sans unité tel que \(0 \leq \nu \leq \frac{1}{2}\). Le cas limite \(\nu=\frac{1}{2}\) correspond à un matériau incompressible.

1. Et après ?

On s’intéresse à présent à deux formulations du problème d’élasciticité

Pour compléter l’étude de l’élasticité linéaire: