Formulation mixte

On considère \(\Omega \subset \RR^3\) tel que \(\partial \Omega = \partial \Omega_D \cap \partial \Omega_N\). On se donne \(\mathbf{g}: \partial \Omega_N \rightarrow \mathbb{R}^3\) la charge normale sur \(\partial \Omega_N\). Le problème mélangeant condition de Dirichlet, imposant le déplacement, et de Neumann, imposant les contraintes normales, en élasticité linéaire s’exprime sous la forme suivante

Problème mixte

\begin{align} \nabla \cdot \stresst{\disp{d}} + \mathbf{f} = \mathbf{0} & \quad \mbox{ in } \Omega \\ \stresst{\disp{d}} = \lambda (\nabla \cdot \disp{d}) \Id + \mu (\nabla \disp{d} + \nabla \disp{d}^T) & \quad \mbox{ in } \Omega\\ \disp{d} = \mathbf{0} & \quad \mbox{ on } \partial \Omega_D\\ \stresst{\disp{d}} \normal = \mathbf{g} & \quad \mbox{ on } \partial \Omega_N \end{align}

Le choix naturel d’espace fonctionel est \(X\equiv[H^1_{0,\partial \Omega_D}(\Omega)]^3\) pour la solution et les fonctions tests avec

\[X\equiv [H^1_{0,\partial \Omega_D}(\Omega)]^3=\left\{ \disp{v} \in [H^1(\Omega)]^3\ \mathrm{s.t.}\ \disp{v} = \mathbf{0}\ \mbox{ on } \partial \Omega_D \right\}\]

The variational formulation is obtained by doing the scalar product of the first equation by the test functions \(\mathbf{v}\). Observe moreover that:

Integration by parts thanks to Divergence theorem
\[\int_\Omega \nabla\cdot \stresst{\disp{d}}\ \cdot\ \mathbf{v} = \int_\Omega \stresst{\disp{d}}\ :\ \nabla \mathbf{v} - \int_{\partial \Omega} \mathbf{v} \cdot ( \stresst{\disp{d}} \normal)\]

and

Symmetry of \(\stresst{\disp{d}}\)
\[\stresst{\disp{d}} : \nabla \mathbf{v} = \stresst{\disp{d}} : \deformt{\disp{v}}\]

and we obtain

\[\int_\Omega \stresst{\disp{d}}\ :\ \deformt{\disp{v}} - \int_{\partial \Omega} \mathbf{v} \cdot ( \stresst{\disp{d}} \normal) = \int_\Omega \mathbf{f}\cdot \disp{v}\]

La formulation faible s’écrit alors

Formulation faible du problème mixte

On cherche \(\disp{d} \in H^1_{0,\partial \Omega_D}(\Omega)]^3\) telle que

\[a(\disp{d},\disp{v}) = \int_\Omega f \cdot \disp{v} + \int_{\partial \Omega_N} \disp{g} \cdot \normal \quad \forall v \in [H^1_{0,\partial \Omega_D}(\Omega)]^3\]

Avec

\[a(\disp{d},\disp{v}) = \int_\Omega \stresst{\disp{d}}\ :\ \deformt{\disp{v}} = \int_\Omega \lambda \nabla \cdot \disp{d} \nabla \cdot \disp{v} + \int_\Omega 2 \mu \deformt{\disp{d}} : \deformt{\disp{v}}\]
En mécanique du continuum, la fonction de test v joue le rôle d’un déplacement virtuel et la formulation faible précédente exprime le principe du travail virtuel.

1. Problème bien posé

Le problème faible avec condition aux limites mixtes est bien posé grâce à l’inégalité de Korn.

2. Finite element approximation

On considère une approximation du problème mixte par élément fini \(H^1\)-conforme à partir d’une famille de maillages affines, géométriquement conformes \(\{\calTh\}_{h>0}\) et d’un élément fini de Lagrange de degré \(k\geq 1\) décrit par \(\{\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma} \}\). On introduit Ensuite

\[X^k_h = \left\{ \disp{v}_h \in [C^0(\Omega)]^3 | \forall K \in \calTh, \disp{v}_h \circ \varphi_K^{\mathrm{geo}} \in [\hat{P}]^3;\ \disp{v}_h = \disp{0} \mbox{ on } \partial \Omega_N \right\}\]
Problème discret

Trouver \(\disp{d} \in X_h^k\) telle que

\[a(\disp{d}_h,\disp{v}_h) = \int_\Omega f \cdot \disp{v}_h + \int_{\partial \Omega_N} \disp{g} \cdot \normal \quad \forall v_h \in X_h^k\]
Proposition: Estimation a priori pour le problème mixte

Soit \(\disp{d}\) une solution du problème faible, on a tout d’abord que \(\lim_{h\rightarrow 0} \|\disp{d}-\disp{d}_h\|_{1,\Omega} = 0\). De plus si \(\disp{d} \in [H^{l+1}(\Omega)]^3 \cap X^k_h\) pour \(l\in \{1\ldots k\}\) alors il existe \(c\) telle que

\[\forall h, \quad \|\disp{d}-\disp{d}_h\|_{1,\Omega} \leq c h^l |\disp{d}|_{l+1,\Omega}.\]