Advection-diffusion

On s’intéresse au problème suivant:

Problème

On cherche \(u : \Omega \rightarrow \RR\) telle que

\[ \begin{split} -\nabla \cdot ( \mathbf{\alpha} \nabla u ) + \mathbf{\beta} \cdot \nabla u + \mu u &= f \mbox{ dans } \Omega\\ \mathcal{B} u &= 0 \mbox{ sur } \partial \Omega\\ \end{split}\]

où \(\mathcal{B}\) est l’opérateur prenant en compte les conditions aux limites. La variation sur les conditions aux limites de la section [sec:cond-aux-limit] s’appliquent.

  • \(\mathcal{B}u=u\) condition de Dirichlet

  • \(\mathcal{B}u=(\mathbf{\alpha}\nabla{u}) \cdot n\) condition de Neumann

  • \(\mathcal{B}u=\gamma u + (\mathbf{\alpha} \nabla u )\cdot n\) condition de Robin

Les différents termes de l’opérateur ont une interprétation physique

  • \(-\nabla \cdot ( \mathbf{\alpha} \nabla u )\) est un terme de diffusion,

  • \(\mathbf{\beta} \cdot \nabla u\) est un terme d’advection,

  • \(\mu u\) est un terme de réaction (production ou destruction).

Ce type d’équation est très fréquente en ingéniérie, biologie ou encore finance.

Transfert de chaleur

\(u\) is the temperature, \(\alpha=\kappa \mathcal{I}\) où \(\kappa\) est la conductivité thermique, \(\beta\) est le champ d’écoulement, \(\mu = 0\) et \(f\) est chaleur apportée exterieurement par unité de volume.

Advection Diffusion

\(u\) est la concentration d’un soluté transportée dans un champ d’écoulement \(\beta\). La matrice \(\alpha\) modélise la diffusivité du soluté soit de la diffusion moléculaire soit du mélange turbulent du fluide transporteur. La production ou destruction par réaction chimique is pris en compte par le terme linéaire \(\mu u\). Le second membre \(f\) modélise les sources ou puits.

On suppose que \(\mathbf{\alpha} \in [L^{\infty}(\Omega)^{d\times d}\), \(\mathbf{\beta} \in [L^{\infty}(\Omega)^d\), \(\nabla \cdot \mathbf{\beta} \in L^{\infty}(\Omega)\) et \(\mu \in L^\infty(\Omega)\).

On suppose que l’opérateur \(\mathcal{L}\) tel que \(\mathcal{L} u = -\nabla \cdot ( \alpha \nabla u ) + \beta \cdot \nabla u + \mu u\) est elliptique au sens suivant:

Définition

L’opérateur \(\mathcal{L}\) est elliptique si il existe une constante \(\alpha_0\) telle que presque pour tout \(x\in\Omega\)

\[ \forall \xi=(\xi_1, \ldots , \xi_n)\in\RR^n,\quad { \sum_{i,j=1}^n \alpha_{ij}(x) \, \xi_i \, \xi_j \ge \alpha_0 \, \| \xi \|^2 }\]
Le Laplacien est dans la catégorie des opérateurs elliptiques, il correspond à \(\mathbf{\beta} = 0\), \(\mu = 0\) et \(\mathbf{\alpha}=\mathcal{I}_d\) avec \(\mathcal{I}_d\) la matrice identité de \(\RR^{d\times d}\).

1. Condition de Dirichlet homogène

Nous imposons \(u=0\) sur \(\partial \Omega\).

Nous multiplions \(\mathcal{L} u = f\) par une fonction test (suffisamment régulière) s’annulant au bord et on intègre sur \(\Omega\). En intégrant par parties (formule de Green) nous avons

\[\int_\Omega \nabla \cdot (\mathbf{\alpha} \nabla u ) v = \int_\Omega (\mathbf{\alpha} \nabla u ) \cdot \nabla v -\int_{\partial \Omega} ((\alpha \nabla u)\cdot n) v\]

ce qui donne

\[\int_\Omega (\mathbf{\alpha} \nabla u ) \cdot \nabla v + (\mathbf{\beta} \cdot \nabla u) v + \mu u v = \int_\Omega f v\]

Afin que les intégrales sur \(\Omega\) aient un sens, nous demandons par exemple que \(u\) et \(v\) aient la régularité suivante:

\[u\in H^1(\Omega)\quad\text{et}\quad v\in H^1(\Omega).\]

Comme \(u\in H^1(\Omega)\), le théorème [toto] implique que \(u\) ait une trace sur le bord. Comme \(u_{|\partial \Omega} = 0\), on cherche en fait \(u\) dans \(H^1_0(\Omega)\). Les fonctions tests sont également prises dans \(H^1_0(\Omega)\) ce qui donne la formulation faible suivante

On cherche \(u \in H^1_0(\Omega)\) telle que

\[ a(u,v) = \ell(v) \quad \forall v \in H^1_0(\Omega)\]

avec

\[ a(u,v)=\int_\Omega (\mathbf{\alpha} \nabla u ) \cdot \nabla v + (\mathbf{\beta} \cdot \nabla u) v + \mu u v\]

et

\[ \ell(v) = \int_\Omega f v\]

Nous avons le résultat suivant .Une solution du problème faible est solution du problème fort

Si \(u\) résout [eq:89], alors \(\mathcal{L}u=f\) presque partout dans \(\Omega\) et \(u=0\) presque partout sur \(\partial \Omega\).

Preuve

Soit \(\phi\in \mathcal{D}(\Omega)\) et \(u\) une solution de [prob:12]. On a

\[\begin{split} \left\langle-\nabla \cdot (\alpha \nabla u), \phi \right\rangle_{\mathcal{D}',\mathcal{D}} &= \left\langle (\alpha \nabla u), \nabla \phi \right\rangle_{\mathcal{D}',\mathcal{D}} = \int_\Omega \alpha \nabla u \cdot \nabla \phi \\ & = \int_\Omega (f - \beta \cdot \nabla u - \mu u ) \phi, \end{split}\]

ce qui donne \(\langle\mathcal{L}u,\phi\rangle_{\mathcal{D}',\mathcal{D}} = \int_\Omega f \phi\). Or \(\mathcal{D}(\Omega)\) est dense dans \(L^2(\Omega)\), nous avons donc que \(\mathcal{L}u=f\) dans \(L^2(\Omega)\). C’est à dire que \(\mathcal{L}u=f\) presque partout dans \(\Omega\). Enfin \(u=0\) presque partout sur \(\partial \Omega\) par définition de \(H^1_0(\Omega)\) d’après le théorème [toto] \(\blacksquare\)

2. Conditions de Dirichlet Non homogène

Nous imposons \(u=0\) sur \(\partial \Omega\) où \(g : \partial \Omega \rightarrow \RR\) est une fonction donnée.

Nous supposons que \(g\) soit suffisamment régulière telle qu’il existe un relèvement \(u_g\) de \(g\) dans \(H^1(\Omega)\), c’est à dire qu’il existe une fonction \(u_g\) de \(H^1(\Omega)\) telle que \(u_g=g\) sur \(\partial \Omega\).

On cherche \(u \in H^1(\Omega)\) telle que

\[u=u_g+\phi,\quad \phi \in H^1_0(\Omega)\]

où \(\phi\) est solution de

\[ a(\phi,v) = \ell(v) - a(u_g,v) \quad \forall v \in H^1_0(\Omega)\]

avec

\[ a(u,v)=\int_\Omega (\mathbf{\alpha} \nabla u ) \cdot \nabla v + (\mathbf{\beta} \cdot \nabla u) v + \mu u v\]

et

\[ \ell(v) = \int_\Omega f v\]

Soit \(g\in H^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega)\), si \(u\) résout [prob:12_1], alors \(\mathcal{L}u=f\) presque partout dans \(\Omega\) et \(u=g\) presque partout sur \(\partial \Omega\).

Preuve

La preuve est similaire à celle de [prob:12].

Lorsque l’opérateur \(\mathcal{L}\) est le Laplacien, [prob:12_1] est appelé un problème de Poisson.

3. Conditions de Neumann

Soit une fonction \(g:\partial \Omega \rightarrow \RR\), nous voulons imposer \(\mathcal{B}u=(\alpha \nabla u)\cdot n = g\) sur \(\partial \Omega\).

Dans le cas où \(\alpha = \mathcal{I}\), la condition de Neumann correspond à spécifier la dérivée normale de \(u\) car \(\nabla u \cdot n = \partial_n u = \frac{\partial u}{\partial n}\).

Nous procédons de la même façon que précédemment et en utilisant la condition de Neumann dans l’intégrale de surface [eq:adr-green], on obtient la formulation faible suivante:

On cherche \(u \in H^1(\Omega)\) telle que

\[ a(u,v) = \ell(v) \quad \forall v \in H^1(\Omega)\]

avec

\[ a(u,v)=\int_\Omega (\mathbf{\alpha} \nabla u ) \cdot \nabla v + (\mathbf{\beta} \cdot \nabla u) v + \mu u v\]

et

\[ \ell(v) = \int_\Omega f v + \int_{\partial \Omega} g v\]

Soit \(g\in L^2(\partial \Omega)\), si \(u\) résout [prob:12_2], alors \(\mathcal{L}u=f\) presque partout dans \(\Omega\) et \(\alpha \nabla u \cdot n = g\) presque partout sur \(\partial \Omega\).

Preuve

En prenant les fonctions tests dans \(\mathcal{D}(\Omega)\) , on a immediatement que \(\mathcal{L}u = f\) presque partout dans \(\Omega\). Nous avons donc que \(-\nabla \cdot (\alpha \nabla u ) \in L^2(\Omega)\). Le corollaire [B59] implique que \(\alpha \nabla u \cdot n \in H^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega)' = H^{-\frac{1}{2}}(\partial \Omega)\) du fait que

\[\forall \phi \in H^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega), \quad \left\langle\alpha \nabla u \cdot n, \phi\right\rangle_{H^{-\frac{1}{2}},H^{\frac{1}{2}}} = \int_{\Omega} -\nabla \cdot (\alpha \cdot \nabla u) u_\phi + \int_\Omega \alpha \nabla u \cdot \nabla u_\phi\]

où \(u_\phi \in H^1(\Omega)\) est un relèvement de \(\phi\) dans \(H^1(\Omega)\). On a alors que [prob12_2] donne

\[\forall \phi \in H^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega), \quad \left\langle\alpha \nabla u \cdot n, \phi\right\rangle_{H^{-\frac{1}{2}},H^{\frac{1}{2}}} = \int_{\partial \Omega} g \phi\]

montrant que \(\alpha \nabla u \cdot n = g\) dans \(H^{-\frac{1}{2}}(\partial \Omega)\) et donc, par conséquent, dans \(L^2(\Omega)\) du fait que \(g\) soit dans \(L^2(\Omega)\).\(\blacksquare\)

4. Conditions mixtes Dirichlet-Neumann

documentation en cours

5. Conditions de Robin

documentation en cours

Soient deux fonctions \(g,\gamma : \partial \Omega \rightarrow \RR\), nous voulons imposer \(\gamma u + (\alpha \nabla u)\cdot n = g\) sur \(\partial \Omega\). En utilisant la relation sur l’intégrale de surface [eq:adr-green], nous avons la formulation faible suivante

On cherche \(u \in H^1(\Omega)\) telle que

\[ a(u,v) + \int_{\partial \Omega} \gamma u v = \ell(v) \quad \forall v \in H^1(\Omega)\]

avec

\[ a(u,v)=\int_\Omega (\mathbf{\alpha} \nabla u ) \cdot \nabla v + (\mathbf{\beta} \cdot \nabla u) v + \mu u v\]

et

\[ \ell(v) = \int_\Omega f v + \int_{\partial \Omega} g v\]

Soit \(g\in L^2(\partial \Omega)\) et \(\gamma \in L^\infty(\partial \Omega\). Si \(u\) résout [prob:12_4], alors \(\mathcal{L}u=f\) presque partout dans \(\Omega\) et \(\gamma u + \alpha \nabla u \cdot n = g\) presque partout sur \(\partial \Omega\).

Preuve

On procède de manière similaire aux preuves précédentes. \(\blacksquare\)

Nous récapitulons dans la table suivante les différentes formulations

Table 1. Formulation faible pour différentes conditions aux limites
Problème Espace Forme bilinéaire Forme linéaire

Dirichlet homogène

\(H^1_0(\Omega)\)

\(a(u,v)\)

\(\int_\Omega f v\)

Neumann

\(H^1(\Omega)\)

\(a(u,v)\)

\(\int_\Omega f v + \int_{\partial \Omega} g v\)

Dirichlet Neumann

\(H^1_{\partial \Omega_D}(\Omega)\)

\(a(u,v)\)

\(\int_\Omega f v + \int_{\partial \Omega_N} g v\)

Robin (Fourier)

\(H^1(\Omega)\)

\(a(u,v) + \int_{\partial \Omega} \gamma uv\)

\(\int_\Omega f v + \int_{\partial \Omega} g v\)

Résumé

Les problèmes considérés précédents se mettent tous sous la forme suivante, sauf le problème de Dirichlet non homogène

\[\left\{\begin{array}{l} \text{ Chercher } u \in V \text{ telle que}\\ a(u,v)=f(v), \quad \forall v \in V \end{array}\right.\]

où \(V\) est un espace de Hilbert satisfaisant

\[H^1_0(\Omega) \subset V \subset H^1(\Omega)\]

Dans le cas de conditions de Dirichlet non-homogènes, nous avons \(u\in H^1(\Omega)\) et \(u=u_g+\phi\) où \(u_g\) est un relèvement de la donnée au bord \(g\) et \(\phi\) résout le problème générique avec des conditions de Dirichlet homogènes.

Conditions aux limites essentielles et naturelles

Il est important d’observer le traitement différent entre les conditions de Dirichlet et Neumann ou Robin conditions.

Les conditions de Dirichlet sont imposées explicitement dans l’espace fonctionnel où la solution est recherchée, et les fonctions de test disparaissent (i.e. \(v=0\)) sur la partie correspondante de la frontière. Pour cette raison, les conditions de Dirichlet sont souvent appelées conditions aux limites essentielles .

Les conditions de Neumann et Robin ne sont pas imposées par le cadre fonctionnel mais par la formulation faible elle-même. Le fait que les fonctions test ont des degrés de liberté sur la partie correspondante de la frontière est suffisant pour faire respecter les conditions limites en question. Pour cette raison, ces conditions sont souvent appelées conditions aux limites naturelles.

6. Coercivité

Cette section est en cours d’écriture

Soient \(f\in L^2(\Omega), stem:[\mathbf{\alpha} \in [L^{\infty}(\Omega)^{d\times d}\), \(\mathbf{\beta} \in [L^{\infty}(\Omega)^d\), \(\nabla \cdot \mathbf{\beta} \in L^{\infty}(\Omega)\) et \(\mu \in L^\infty(\Omega)\).

On note \(p = \essinf_{x \in \Omega} (\mu -\frac{1}{2} \nabla \cdot \mathbf{\beta})\) et \(c_\Omega\) est la constante de l’inégalité de Poincaré [B23].

(i) Les problèmes avec conditions de Dirichlet homogènes [prob12] et non-homogènes [prob12_2] sont bien posés si

\[ \alpha_0 > - \min( 0, \frac{\gamma}{c_\Omega} )\]

(ii) Le problème avec condition de Neumann [prob12_1] est bien posé si

\[ p > 0\quad\text{et}\quad \essinf_{x \in \Omega}(\beta \cdot n ) \geq 0\]

(iii) Le problème avec condition de Dirichlet-Neumann [prob12_3] est bien posé si [eq:92] est vérifiée et

\[ \mathrm{meas}(\partial \Omega_D) > 0\quad\text{et}\quad \partial \Omega^- = \{ x\in \partial \Omega ; (\beta \cdot n)(x) < 0\} \subset \partial \Omega_D\]

(iv) On pose \(q = \essinf_{x \in \Omega} (\gamma +\frac{1}{2} \mathbf{\beta}\cdot n)\). Le problème avec conditions de Robin [prob12_4] non-homogènes [prob12_2] est posé si

\[ p \geq 0,\quad q \geq 0,\quad\text{et}\quad pq \neq 0.\]
Preuve

Nous prouvons (i) et (iv).

Preuve de (i) En utilisant l’ellipticité de \(\mathcal{L}\) et l’identité suivante(Formule de Green)

\[\int_\Omega u(\beta \cdot \nabla u) = -\frac{1}{2} \int_\Omega (\nabla \cdot \beta) u^2 + \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} (\beta \cdot n) u^2\]

alors on a

\[\forall u \in H^1_0(\Omega),\quad a(u,u) \geq \alpha_0|u|^2_{1,\Omega} + p \|u\|^2_{0,\Omega}.\]

En posant \(c=\min(0,\frac{p}{c_\Omega}\) et en utilisant l’inégalité de Poincaré [B53] on a

\[\forall u \in H^1_0(\Omega),\quad a(u,u) \geq \left(\alpha_0+\frac{c}{c_\Omega}\right)|u|^2_{1,\Omega} \geq \sigma \|u\|^2_{1,\Omega}.\]

avec \(\sigma=\frac{c_\Omega(c_\Omega\alpha_0+c)}{1+c^2_\Omega}\).

Cela montre que \(a\) est coercive sur \(H^1_0(\Omega)\).

Le caractère bien posé résulte alors du Lemme de Lax-Milgram pour les conditions de Dicirichlet homogènes et de la proposition [TODO] pour les conditions de Dirichlet non-homogènes.\(\square\)

Preuve de (iv) Notons \(a(u,v)=\int_\Omega \alpha \nabla u\cdot \nabla u + (\beta \cdot \nabla u) v + \mu u v + \int_{\partial \Omega} \gamma u v\). Nous avons l’inégalité suivante:

\[\forall u \in H^1(\Omega),\quad a(u,u) \geq \alpha_0|u|^2_{1,\Omega} + p \|u\|^2_{0,\Omega} + q\|u\|^2_{0,\partial \Omega}.\]

Si \(p>0\) et \(q\geq 0\), la forme bilinéaire est coercive sur \(H^1(\Omega)\) avec comme constante stem:[\sigma = \min(\alpha_0,p).

Si \(p\geq 0\) et \(q > 0\), la forme bilinéaire est coercive sur \(H^1(\Omega)\) grâce au Lemme [TODO].

Dans les deux cas, le caractère bien posé est obtenu par le Lemme de Lax-Milgram.\(\square\) Ceci termine les preuves de (i) et (iv). \(\blacksquare\)

La coercivité est garantie si \(\alpha_0\) est suffisamment grand c’est à dire que si la diffusion est dominante.

7. Approximation conforme dans \(H^1\)

Cette section est en cours d’écriture

L’approximation élément fini est similaire à celle du Laplacian, de plus les variantes sur les conditions aux limites s’appliquent également: condition de Dirichlet non homogène, de Neumann ou de Robin.

Soit \(\Omega\) un polyèdre dans \(\RR^d\), soit \(\{\mathcal{T}_h\}\) une famille de maillages de \(\Omega\), et soit \(\{\hat{K}, \hat{P}, \hat{E}\}\) un élément fini Lagrange de référence du degré \(k \geq 1\).

Soit \(P^k_{c,h}\) l’espace d’approximation conformé \(H^1\) défini par

\[P^k_{c,h}=\{v \in C^0(\bar{\Omega}); \quad \forall K \in \mathcal{T}_h v_{|K} \in \mathbb{P}^k (K) \}\]

Pour obtenir une approximation conforme dans \(V\), nous rajoutons les conditions aux limites, i.e, nous avons

\[V_h = P^k_{c,h} \cap V\]

Dans le cas de conditions de Dirichlet homogène cela donne

\[V_h=\{ v_h \in P^k_{c,h} ;\ v_h = 0 \mbox{ sur } \partial \Omega\}\]

Dans le cas Neumann et Robin, nous avons \(V_h=P^k_{c,h}\). Enfin dans le cas Dirichlet-Neumann, nous avons

\[V_h=\{v_h \in P^k_c; \ v_h = 0 \mbox{ sur } \partial \Omega_D\}\]

Le problème discret s’ecrit

Trouver \(u_h\) dans \(V_h\) telle que

\[a(u_h,v_h)=\ell(v_h), \quad \forall v_h \in V_h\]

Nous cherchons à présent à estimer l’erreur \(u-u_h\) en norme \(H^1\) et \(L^2\).

Estimation \(H^1\)

Soit \(\Omega\) un polyèdre dans \(\RR^d\), soit \(\{\mathcal{T}_h\}\) une famille de maillages de \(\Omega\), et soit \(\{\hat{K}, \hat{P}, \hat{E}\}\) un élément fini Lagrange de référence du degré \(k \geq 1\). Nous avons \(\lim_{h\rightarrow 0} \|u-u_h\|_{1,\Omega} = 0\) et pour \(\frac{d}{2} < s < k+1\), il existe une constante \(c\) telle que

\[\forall h, \quad \|u-u_h\| \leq c h^{s-1} |u|_{s,\Omega}\]
Estimation \(L^2\)

Soient les hypothèse du théorème précédent, auxquelles nous ajoutons des hypothèses initiales, a des propriétés régularisantes Nous avons \(\lim_{h\rightarrow 0} \|u-u_h\|_{1,\Omega} = 0\) et pour \(\frac{d}{2} < s < k+1\), il existe une constante \(c\) telle que

\[\forall h, \quad \|u-u_h\|_{0,\Omega} \leq c h |u-u_h|_{1,\Omega}\]
nous n’avons pas défini ce que sont ces propriétés régularisantes. Nous supposerons qu’elles sont vérifiées.
Exemple du Laplacien avec conditions de Dirichlet homogène en P1
\[\forall h, \quad \|u-u\|_{0,\Omega} + h \|u-u_h\|_{1,\Omega} \leq c h^2 \|f\|_{0,\Omega}\]

8. Et après ?

Pour compléter l’étude de l’équation d’advection diffusion: